Integrais e Funções Matemáticas - Ferramentas Matemáticas Aplicadas (2024)

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**Resposta e Explicação:** \( \int \sinh(x) \, dx = \cosh(x) + C \). Integramos a função hiperbólica seno. 39. **Integral de função trigonométrica inversa:** Calcular \( \int \frac{{1}}{{\sqrt{1 - x^2}}} \, dx \). **Resposta e Explicação:** \( \int \frac{{1}}{{\sqrt{1 - x^2}}} \, dx = \arcsin(x) + C \). Utilizamos a integral conhecida da função trigonométrica inversa. 40. **Integral com raízes complexas:** Calcular \( \int \frac{{1}}{{x^2 + 4x + 5}} \, dx \). **Resposta e Explicação:** \( \int \frac{{1}}{{x^2 + 4x + 5}} \, dx = \frac{{1}}{{2}} \arctan\left(\frac{{x + 2}}{{1}}\right) + C \). Utilizamos a técnica de completar o quadrado e a substituição para resolver a integral. 41. **Integral com função trigonométrica composta:** Calcular \( \int \sin(2x) \ cos(2x) \, dx \). **Resposta e Explicação:** \( \int \sin(2x) \cos(2x) \, dx = \frac{{\sin^2(2x)}}{{4}} + C \). Utilizamos a identidade trigonométrica \( \sin(2x) \cos(2x) = \frac{{\sin(4x)}}{{2}} \) e a fórmula de redução de potência. 42. **Integral com frações parciais:** Calcular \( \int \frac{{5x - 2}}{{x^2 + 3x + 2}} \, dx \). **Resposta e Explicação:** \( \int \frac{{5x - 2}}{{x^2 + 3x + 2}} \, dx = 5\ln|x + 1| - 3\ln|x + 2| + C \). Utilizamos a técnica de decomposição em frações parciais para resolver a integral. 43. **Integral com substituição e integração por partes:** Calcular \( \int x e^{2x} \, dx \). **Resposta e Explicação:** \( \int x e^{2x} \, dx = \frac{{x}}{{2}} e^{2x} - \frac{{1}}{{4}} e^{2x} + C \). Utilizamos a técnica de integração por partes após a substituição \( u = 2x \). 44. **Integral com valor absoluto e limites variáveis:** Calcular \( \int_{{0}}^{{1}} |x - 0.5| \, dx \). **Resposta e Explicação:** \( \int_{{0}}^{{1}} |x - 0.5| \, dx = \int_{{0}}^{{0.5}} (0.5 - x) \, dx + \int_{{0.5}}^{{1}} (x - 0.5) \, dx = \frac{{1}}{{8}} \). Resolvemos a integral definida separando-a em dois casos: \( x < 0.5 \) e \( x \geq 0.5 \). 45. **Integral com função exponencial e frações parciais:** Calcular \( \int \frac{{e^x}}{{x}} \, dx \). **Resposta e Explicação:** \( \int \frac{{e^x}}{{x}} \, dx = \text{Ei}(x) + C \). Integramos a função utilizando a integração por partes e a função exponencial. 46. **Integral definida com mudança de variável:** Calcular \( \int_{{1}}^{{2}} \frac{{1}}{{\sqrt{1 - x^2}}} \, dx \). **Resposta e Explicação:** \( \int_{{1}}^{{2}} \frac{{1}}{{\sqrt{1 - x^2}}} \, dx = \arcsin(2) - \arcsin(1) = \frac{{\pi}}{{2}} - \frac{{\pi}}{{6}} = \frac{{\pi}}{{3}} \).